Resultados

Nota : En esta sección hemos puesto los resultados obtenidos recientes. Los obtenidos en años anteriores pueden verse en la solapa Proyectos y luego remitirse al año correspondiente. Se pretende una presentación a nivel de divulgación para que aquellos interesados puedan contactarse con los autores y leer nuestros paper especializados.

 

En el año 2013 hemos obtenido una nueva demostración de una propiedad de acumulación de los números primos que tiene una interesante relación con la Criptografía.

Esta sección no pretende ser de carácter científico propiamente, sino mas bien una sección de divulgación de lo resultados obtenidos para que aquellas personas interesadas puedan leer más en los paper especializados o bien contactar al equipo de investigación para ejemplos concretos y demostraciones rigurosas.

La propiedad descubierta a la que hacemos mención es en realidad un redescubrimiento. ¿Por qué decimos esto? Porque cuando la descubrimos no sabíamos que ya había sido descubierta en 1948 por dos grandes matemáticos húngaros : Paul Erdos y Pal Turan. El hecho de que ya existía nos fue comunicado por otro matemático Húngaro : Gergely Harcos. Él mismo nos proporcionó el paper donde Erdos y Turan demuestran nuestro descubrimiento. Pero al leerlo  observamos que su demostración es completamente distinta a la nuestra y que la nuestra puede ser generalizada en varios aspectos.

¿Cuál es en palabras de divulgación la propiedad descubierta?

Es de conocimiento público que la cantidad de números primos es infinita. Este hecho importantísimo fue demostrado por Euclides hace 2300 aproximadamente. Hace no más de 300 años este hecho es demostrado nuevamente por el matemático más prolífico de la historia : Leonhard Euler. Su demostración está basada en la divergencia de la serie

\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{p_n}

Al ser esta serie divergente no puede tener finitos términos y por lo tanto la cantidad de primos es infinita.

Ahora bien, cómo se conecta esta serie para descubrir la porpiedad de " acumulación " de los primos a la que hacemos refenrencia. Hemos descubierto un nuevo criterio de convergencia que es muy simple de explicar en palabras. El criterio, que funciona para numeros enteros solamente, dice que si una sucesión de números naturales se separa cada vez mas del anterior entonces la serie de los recíprocos de dichos números es convergente. Por ejemplo, la sucesión de los números cuadrados ; 1, 4, 9, 16, .... , n^2, ... se separa cada vez más y entonces la serie de los recíprocos resulta convergente.

De este criterio se deduce, por contrarrecíproco, que si una serie diverge entonces los enteros de la cual se forman sus recíprocos no pueden separarse cada vez más. Es decir, infinitas veces debe haber un primo más cerca del anterior que éste último de su precedente. Ésta es nuestra idea fundamental con la cual hemos llegado por una vía completamente distinta al resultado de Erdos y Turan.

Cuando se nos comunicó el hecho de que Erdos y Turan nos habían precedido tuvimos sensaciones mixtas. Por un lado era mala noticia que ya sea conocido nuestro resultado pero por otro nuestro método era generalizable y haber reencontrado una propiedad que habían hallado estos grandes matemáticos nos dio fuerzas para continuar.

En ese momento tuvo el Dr. Daniel Prelat el verdadero BREAKTHROUGH de nuestra idea. Se preguntó como se podía aplicar nuestra demostración a nuevos conjuntos de primos, no necesariamente a todos ellos. Nos propuso como director  del proyecto que investiguemos esta idea y llegamos a la generalización (actualmente en revisión para publicación )  de que no sólo se acumulan de a uno los primos como anticipaban ERDOS Y TURAN sino que se acumulan de a dos, de a tres y en general de cualquier número finito de primos. Como ejemplo consideremos los cinco primos consecutivos : 31, 37, 41, 43, 47. El primo del medio 41 tiene dos primos a su derecha más cerca que dos primos a su izquierda. ESTO OCURRE INFINITAS VECES y contradice completamente la vaga y falsa noción de que los primos se separan cada vez más.

Esta propiedad hallada requiere que dediquemos esfuerzos para encontrar aplicaciones criptográficas y varias ideas matemáticas que se desprenden de ellas por ejemplo la densidad de acumulación de primos de este tipo y en particular si esta densidad es positiva. En el futuro iremos actualizando esta y otras secciones con los correspondientes avances que se preven muy fructíferos.